Abstract
Soit
T un courant positif psh de bidegré
(
k
,
k
)
dans un voisinage
Ω de 0 dans
C
N
=
C
n
×
C
m
(
n
=
N
−
m
⩾
k
), soient
L
=
{
0
}
×
C
m
et
B un borélien dans
L tel que
B
⊂
⊂
Ω
. On note
(
z
,
t
)
∈
C
n
×
C
m
et on considère deux fonctions de classe
C
2
positives psh et semi-exhaustives sur
Ω,
(
z
,
t
)
↦
φ
(
z
)
et
(
z
,
t
)
↦
v
(
t
)
telles que
log
φ
soit également psh sur l'ouvert
{
φ
>
0
}
. Nous montrons que
T admet un nombre de Lelong directionnel relativement à
φ et
v. Si
m
=
0
et
φ
(
z
)
=
|
z
|
2
, on retrouve le nombre de Lelong classique au point 0. Si
m
=
0
et
T est un courant positif
d-fermé, on retrouve celui introduit par J.-P. Demailly. Si
φ
(
z
)
=
|
z
|
2
et
v
(
t
)
=
|
t
|
2
, on retrouve celui introduit par Alessandrini–Bassanelli. Pour cela, nous démontrons une formule de type Lelong–Jensen. Nous démontrons enfin un théorème sur l'existence d'une fonction
f psh positive sur un voisinage ouvert de 0 dans
L tel que ce nombre de Lelong de
T soit donné par
f. Ce théorème généralise un résultat antérieur dû à Alessandrini–Bassanelli pour
φ
(
z
)
=
|
z
|
2
et
v
(
t
)
=
|
t
|
2
.
Pour citer cet article : M. Toujani, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006).
Let
T be a positive psh current of bidegree
(
k
,
k
)
on a neighborhood
Ω of 0 in
C
N
=
C
n
×
C
m
(
n
=
N
−
m
⩾
k
), let
L
=
{
0
}
×
C
m
and
B a Borel subset of
L such that
B
⊂
⊂
Ω
. We denote
(
z
,
t
)
∈
C
n
×
C
m
and consider two
C
2
positive semi-exhaustive psh functions on
Ω,
(
z
,
t
)
↦
φ
(
z
)
et
(
z
,
t
)
↦
v
(
t
)
such that
log
φ
is also psh on the open set
{
φ
>
0
}
. We prove here that
T admits a directional Lelong number along
L with respect to the functions
φ and
v. If
m
=
0
and
φ
(
z
)
=
|
z
|
2
, we get the classical Lelong number of
T at 0. If
m
=
0
and
T is a
d-closed positive current, we get the number introduced by J.-P. Demailly. If
φ
(
z
)
=
|
z
|
2
and
v
(
t
)
=
|
t
|
2
, we get the number introduced by Alessandrini–Bassanelli. The method first consists in proving a Lelong–Jensen type formula. Finally we prove a theorem on the existence of a positive psh function
f on
L such that the Lelong number of
T is given by
f. This theorem generalizes a result proved by Alessandrini–Bassanelli with
φ
(
z
)
=
|
z
|
2
and
v
(
t
)
=
|
t
|
2
.
To cite this article: M. Toujani, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006).